Produit scalaire dans le plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Définition par le projeté orthogonal

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs. Si $v^{'}$ est le projeté orthogonal de $v$ sur la direction de $u$ , alors $u \cdot v = u \cdot v^{'}$ . Le produit scalaire est un nombre réel (un scalaire), pas un vecteur.

Définition avec la norme et le cosinus

Si $u$ et $v$ sont non nuls et $θ$ l'angle entre eux : $u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos (θ)$ . Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire vaut $0$ .

Exemple : si $∥ u ∥ = 3$ , $∥ v ∥ = 2$ et $θ = 60°$ , alors $u \cdot v = 3 \times 2 \times cos (60°) = 6 \times \frac{1}{2} = 3$ .

Définition avec les coordonnées

Dans un repère orthonormé, si $u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ , alors $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ .

Exemple : $u (2; - 1)$ et $v (3; 4)$ donnent $u \cdot v = 2 \times 3 + (- 1) \times 4 = 6 - 4 = 2$ .

Propriété de symétrie

Le produit scalaire est commutatif : $u \cdot v = v \cdot u$ . L'ordre des vecteurs n'a aucune importance.

Bilinéarité

Le produit scalaire est linéaire par rapport à chaque vecteur : pour tout réel $k$ , $(k u) \cdot v = k (u \cdot v)$ et $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ . On peut donc développer comme avec une multiplication.

Norme et carré scalaire

Le carré scalaire de $u$ est $u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$ , noté aussi $u^{2}$ . Ainsi $∥ u ∥ = u \cdot u$ . En coordonnées, $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2}$ .

Identités remarquables

Comme pour les nombres : $∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$ . On en déduit la formule de polarisation : $u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2})$ .

Orthogonalité

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont orthogonaux si et seulement si $u \cdot v = 0$ . Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.

Exemple : $u (2; 3)$ et $v (- 3; 2)$ sont orthogonaux car $2 \times (- 3) + 3 \times 2 = 0$ .

Formule d'Al-Kashi

Dans un triangle $A B C$ , en notant $a = B C$ , $b = C A$ , $c = A B$ : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos (A)$ . C'est la généralisation du théorème de Pythagore aux triangles quelconques.

Application : équation de droite et vecteur normal

Un vecteur $n (a; b)$ est normal à une droite $d$ s'il est orthogonal à un vecteur directeur de $d$ . La droite passant par $A (x_{A}; y_{A})$ et de vecteur normal $n (a; b)$ a une équation de la forme $a x + b y + c = 0$ .

Application : calcul d'angles et de longueurs

De $u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos (θ)$ on tire $cos (θ) = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥}$ , ce qui donne l'angle entre deux vecteurs. Al-Kashi permet de calculer une longueur manquante dans un triangle.

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Calculer un produit scalaire (coordonnées et projeté orthogonal)

Énoncé. Dans un repère orthonormé, on donne les vecteurs $u (3; - 1)$ et $v (2; 4)$ . Calculer $u \cdot v$ à l'aide des coordonnées. On considère ensuite les points $A (1; 2)$ , $B (5; 2)$ et $C (4; 6)$ , et le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur la droite $(A B)$ . Retrouver $A B \cdot A C$ par la formule du projeté.

Solution.

Pour deux vecteurs $u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ dans un repère orthonormé, le produit scalaire vaut $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ . On applique avec $u (3; - 1)$ et $v (2; 4)$ : $u \cdot v = 3 \times 2 + (- 1) \times 4 = 6 - 4 = 2.$
On passe au second calcul. On détermine les coordonnées des vecteurs : $A B (5 - 1; 2 - 2) = (4; 0)$ et $A C (4 - 1; 6 - 2) = (3; 4)$ .
Le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur $(A B)$ a la même abscisse que $C$ et la même ordonnée que la droite $(A B)$ , horizontale d'équation $y = 2$ . Donc $H (4; 2)$ , et $A H (4 - 1; 2 - 2) = (3; 0)$ .
La formule du projeté donne $A B \cdot A C = A B \cdot A H$ . Comme $A B$ et $A H$ sont colinéaires et de même sens, $A B \cdot A C = A B \times A H = 4 \times 3 = 12.$
Vérification. Par les coordonnées : $A B \cdot A C = 4 \times 3 + 0 \times 4 = 12$ . ✓ Les deux méthodes concordent.

Exemple 2 — Montrer une orthogonalité avec Al-Kashi

Énoncé. Dans un triangle $A B C$ , on donne $A B = 6$ , $A C = 8$ et $B C = 10$ . Calculer le produit scalaire $A B \cdot A C$ , puis en déduire la mesure de l'angle $B A C$ . Que peut-on conclure sur le triangle ?

Solution.

On utilise la relation issue du théorème d'Al-Kashi, qui exprime un côté en fonction du produit scalaire. On part de $B C = A C - A B$ , donc en élevant au carré : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B \cdot A C .$
On isole le produit scalaire : $A B \cdot A C = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2} .$
On remplace par les valeurs numériques : $A B \cdot A C = \frac{6 ^{2} + 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = \frac{36 + 64 - 100}{2} = \frac{0}{2} = 0.$
Le produit scalaire $A B \cdot A C$ est nul, donc les vecteurs $A B$ et $A C$ sont orthogonaux : le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , et $B A C = 9 0^{\circ}$ .
Vérification. On contrôle par la réciproque de Pythagore : $A B^{2} + A C^{2} = 36 + 64 = 100$ et $B C^{2} = 100$ . L'égalité $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ confirme que le triangle est rectangle en $A$ . ✓

Exemple 3 — Équation de droite à partir d'un vecteur normal

Énoncé. Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne de la droite $D$ passant par le point $A (2; - 3)$ et admettant le vecteur $n (4; 1)$ pour vecteur normal.

Solution.

Un point $M (x; y)$ appartient à $D$ si et seulement si le vecteur $A M$ est orthogonal au vecteur normal $n$ , c'est-à-dire $n \cdot A M = 0$ .
On exprime les coordonnées de $A M$ : $A M (x - 2; y + 3)$ . Avec $n (4; 1)$ , la condition $n \cdot A M = 0$ s'écrit $4 (x - 2) + 1 (y + 3) = 0.$
On développe et on réduit : $4 x - 8 + y + 3 = 0$ , soit $4 x + y - 5 = 0.$
Une équation cartésienne de $D$ est donc $4 x + y - 5 = 0$ . On remarque que les coefficients de $x$ et de $y$ , à savoir $4$ et $1$ , redonnent bien les coordonnées du vecteur normal $n (4; 1)$ .
Vérification. On vérifie que $A (2; - 3)$ appartient à $D$ : $4 \times 2 + (- 3) - 5 = 8 - 3 - 5 = 0$ . ✓ Le point $A$ est bien sur la droite.

🔑 Formules clés à retenir

Projeté orthogonal : $u \cdot v = u \cdot v^{'}$
Norme et cosinus : $u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos (θ)$
Coordonnées (repère orthonormé) : $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$
Carré scalaire : $u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$
Polarisation : $u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2})$
Orthogonalité : $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$
Cosinus de l'angle : $cos (θ) = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ \times ∥ v ∥}$
Al-Kashi : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos (A)$

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Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Le produit scalaire est un nombre, jamais un vecteur : ne pas écrire $u \cdot v$ avec une flèche au résultat.
La formule $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ n'est valable QUE dans un repère orthonormé.
Attention aux signes dans Al-Kashi : c'est $- 2 b c cos (A)$ (signe moins) ; avec $A = 90°$ , $cos = 0$ et on retrouve Pythagore.
Un produit scalaire négatif signifie un angle obtus ( $θ > 90°$ ) ; positif, un angle aigu.
Ne pas confondre $u \cdot v = 0$ (orthogonalité) avec $u + v = 0$ (vecteurs opposés).
$u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$ et non $∥ u ∥$ : ne pas oublier le carré.
Un vecteur normal $n (a; b)$ se lit directement sur l'équation $a x + b y + c = 0$ ; le vecteur directeur est alors $(- b; a)$ .

Produit scalaire dans le plan — Fiche d'exercices

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50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

20 exercices

Équation d'une droite à partir d'un vecteur normal

Facile

Énoncé

On considère la droite $(d)$ passant par le point $A (- 5; 4)$ et admettant pour vecteur normal $n (3; - 1)$ . Déterminer une équation cartésienne de la droite $(d)$ .

Ma réponse

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Définition avec la norme et le cosinus

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Bilinéarité

Norme et carré scalaire

Identités remarquables

Orthogonalité

Formule d'Al-Kashi

Application : équation de droite et vecteur normal

Application : calcul d'angles et de longueurs

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Calculer un produit scalaire (coordonnées et projeté orthogonal)

Exemple 2 — Montrer une orthogonalité avec Al-Kashi

Exemple 3 — Équation de droite à partir d'un vecteur normal

🔑 Formules clés à retenir

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