Carrés et racines carrées

⏳

Disponible dans 93 jours

Ce concept sera publié le 13 novembre 2026. La collection s'enrichit d'un nouveau concept chaque semaine.

📩 Reçois la notification dès la publication

Gratuit · Pas de spam · Désinscription en 1 clic

🟥 Une question d'enfant

Tu as un carré dont le côté mesure 1. Quelle est la longueur de sa diagonale ? D'après Pythagore, c'est $\sqrt{2}$ . Pas de souci.

Maintenant la vraie question : écris $\sqrt{2}$ sous forme de fraction p/q, avec p et q entiers. Tu vas essayer : 1,4 = 14/10. Non, c'est trop petit (1, $4^{2}$ = 1,96). Essaie 1,41 = 141/100… 1,4142… 1,41421356… Quoi que tu essaies, tu n'y arriveras jamais. Et il y a une raison mathématique précise à ça.

🎛️ Visualise √2 comme diagonale

Voici le carré unité et sa diagonale. Mesure la diagonale en grossissant l'image : peu importe la précision, tu ne tomberas jamais sur un nombre exact à virgule finie.

🎛️ Démonstration géométrique

Le côté est l'unité. La diagonale mesure √2 ≈ 1,414213562… (jamais une fraction exacte)

Zoom × 1

Approximation décimale

√2 ≈ 1.4142135624

📜 Démonstration que √2 est irrationnel

La démonstration la plus célèbre des mathématiques de l'Antiquité. Par l'absurde :

Supposons que $\sqrt{2}$ = $\frac{p}{q}$ , avec p et q entiers premiers entre eux (fraction irréductible).
Alors 2 = $\frac{p^{2}}{q^{2}}$ , donc $p^{2} = 2 q^{2}$ .
p² est pair (égal à $2 q^{2}$ ), donc p est pair (car le carré d'un impair est impair).
Écrivons p = 2k. Alors $p^{2}$ = $4 k^{2}$ , donc $4 k^{2}$ = $2 q^{2}$ , donc $q^{2} = 2 k^{2}$ .
q² est pair, donc q est pair.
Mais alors p et q sont tous les deux pairs, donc divisibles par 2 — contradiction avec « premiers entre eux ». ∎

Cette démonstration date du Vᵉ siècle av. J.-C. et est attribuée à Hippase de Métaponte, membre de la confrérie pythagoricienne.

⚰️ Le drame d'Hippase

Les Pythagoriciens étaient une secte philosophico-mathématique qui voyait dans les nombres entiers et leurs rapports (les nombres rationnels) la structure même de l'univers. « Tout est nombre » était leur devise. Et par « nombre », ils entendaient strictement entier ou rationnel.

La découverte qu'un nombre aussi simple que la diagonale du carré unité ne s'écrit pas comme fraction d'entiers a ébranlé leur fondation philosophique. La légende, transmise par Pappus, dit que les Pythagoriciens auraient jeté Hippase à la mer pour le punir d'avoir divulgué ce secret au monde.

Vrai ou romancé ? Probablement romancé. Mais cette légende est révélatrice du choc intellectuel que représentait la découverte des nombres irrationnels.

🧮 Les irrationnels après Hippase

Une fois la première fissure ouverte, les autres irrationnels suivent :

$\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ , $\sqrt{7}$ , … (toute racine d'un entier non carré parfait)
π (rapport circonférence / diamètre — voir concept π)
e (base des logarithmes — voir concept Le nombre e)
φ (nombre d'or — voir concept Nombre d'or)
$\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ , et infiniment d'autres

Cantor démontrera plus tard que la plupart des nombres réels sont irrationnels. Les rationnels, finalement, sont l'exception.

📐 Propriétés essentielles à connaître (bac)

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (pour a, b ≥ 0)
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (pour a ≥ 0, b > 0)
${(\sqrt{a})}^{2} = a$ (pour a ≥ 0)
$\sqrt{a^{2}} = | a |$ (pour tout a)

Piège classique : $\sqrt{a + b}$ ≠ $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ . Tester avec a = 9, b = 16 : $\sqrt{25}$ = 5, mais $\sqrt{9}$ + $\sqrt{16}$ = 3 + 4 = 7. Pas égaux.

🎯 L'identité du carré (à savoir absolument)

Les identités remarquables sont une conséquence directe de la définition du carré :

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Tu rencontreras ces identités tous les jours au bac. Apprends-les comme un réflexe — les voir et les utiliser sans réfléchir.

🎓 Carrés et racines au programme bac

Définition : pour a ≥ 0, $\sqrt{a}$ est l'unique réel positif dont le carré vaut a
Propriétés algébriques : produit, quotient, puissance
Équations de degré 2 : discriminant Δ = $b^{2}$ − 4ac, solutions $\frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$
Inéquations : étudier le signe de fonctions du second degré
Norme d'un vecteur : $‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$
Module d'un complexe : |z| = $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

🧠 Réflexion finale

L'histoire de √2 illustre une vérité profonde : les mathématiques découvrent autant qu'elles inventent. Hippase n'a pas inventé les irrationnels. Il les a découverts, comme on découvre une planète, et il l'a fait simplement en suivant les conséquences logiques d'un théorème déjà connu.

Et parfois, ce qu'on découvre détruit la vision du monde qu'on avait jusque-là. C'est ce qui rend ce métier si passionnant — et si dangereux pour les certitudes.

🎯

Vérifie ta compréhension

3 questions courtes pour valider tes acquis. Tu peux réessayer.

← L'Concepts en mouvement La collection s'enrichit chaque semaine