Produit scalaire dans l'espace : méthode et applications au bac

Le produit scalaire est l'outil qui transforme la géométrie de l'espace en calculs. Une fois les coordonnées posées dans un repère orthonormé, des questions comme « ces droites sont-elles orthogonales ? » ou « quelle est l'équation de ce plan ? » deviennent de simples opérations. Voici la méthode complète, pensée pour le bac.

1. Définition : deux expressions à connaître

Soit deux vecteurs $u$ et $v$ de l'espace, et $θ$ l'angle géométrique entre eux. Le produit scalaire $u \cdot v$ est un nombre réel (jamais un vecteur !) défini par :

u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ

Dans un repère orthonormé, si $u x y z$ et $v x^{'} y^{'} z^{'}$ , l'expression analytique est bien plus pratique :

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

C'est cette formule que vous utiliserez 9 fois sur 10 : il suffit de multiplier les coordonnées deux à deux et d'additionner.

2. Norme d'un vecteur

La norme (la « longueur ») de $u$ se déduit du produit scalaire de $u$ par lui-même, puisque $u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$ :

∥ u ∥ = u \cdot u = x^{2} + y^{2} + z^{2}

Exemple : pour $u 2 - 1 2$ , on a $∥ u ∥ = 4 + 1 + 4 = 9 = 3$ .

3. La propriété CLÉ : produit scalaire nul = orthogonalité

C'est le cœur du chapitre. Comme $cos θ = 0$ pour $θ = 9 0^{\circ}$ :

u \cdot v = 0 ⟺ u ⊥ v

Attention : un produit scalaire nul signifie que les vecteurs sont orthogonaux, surtout PAS parallèles. C'est l'erreur la plus fréquente. Deux vecteurs sont parallèles (colinéaires) quand l'un est multiple de l'autre, ce qui n'a rien à voir avec le produit scalaire.

4. Application 1 : montrer une orthogonalité

Pour prouver que deux droites (ou deux segments) sont orthogonales, on prend un vecteur directeur de chacune et on calcule leur produit scalaire. S'il vaut $0$ , c'est gagné.

Exemple : $A B 12 - 1$ et $A C 3 - 1 1$ . On calcule $A B \cdot A C = 1 \times 3 + 2 \times (- 1) + (- 1) \times 1 = 3 - 2 - 1 = 0$ . Donc $(A B) ⊥ (A C)$ : le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ .

5. Application 2 : vecteur normal à un plan

Un vecteur normal $n$ à un plan $P$ est un vecteur (non nul) orthogonal à tous les vecteurs du plan. En pratique, il suffit qu'il soit orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan.

On cherche donc $n a b c$ tel que $n \cdot u = 0$ et $n \cdot v = 0$ , où $u$ et $v$ dirigent le plan. Cela donne un système de deux équations à résoudre.

6. Application 3 : équation cartésienne d'un plan

Voici le résultat le plus puissant. Un plan de vecteur normal $n a b c$ admet une équation cartésienne de la forme :

a x + b y + cz + d = 0

Les coefficients $a$ , $b$ , $c$ sont exactement les coordonnées du vecteur normal : on les lit directement. Pour trouver $d$ , on remplace $x$ , $y$ , $z$ par les coordonnées d'un point connu du plan.

Réciproquement, si on vous donne l'équation $2 x - y + 3 z - 5 = 0$ , le vecteur $n 2 - 1 3$ est normal au plan : c'est immédiat.

7. Application 4 : distance d'un point à un plan

Pour le plan $P : a x + b y + cz + d = 0$ et un point $M (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ , la distance de $M$ à $P$ est :

d (M, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

Le numérateur est une valeur absolue (une distance est positive), le dénominateur est la norme du vecteur normal. On substitue les coordonnées de $M$ dans le membre de gauche de l'équation, on prend la valeur absolue, on divise par $∥ n ∥$ .

8. Exemple résolu type bac

On considère les points $A (1, 0, 2)$ , $B (2, 1, 0)$ et $C (0, 3, 1)$ .

a) Déterminer une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .

On calcule deux vecteurs directeurs : $A B 11 - 2$ et $A C - 1 3 - 1$ . On cherche $n a b c$ orthogonal aux deux :

{n \cdot A B = a + b - 2 c = 0 n \cdot A C = - a + 3 b - c = 0

En additionnant les deux équations : $4 b - 3 c = 0$ , donc $b = \frac{3}{4} c$ . En choisissant $c = 4$ , on obtient $b = 3$ , puis $a = 2 c - b = 8 - 3 = 5$ . Ainsi $n 534$ .

L'équation est donc $5 x + 3 y + 4 z + d = 0$ . On remplace par $A (1, 0, 2)$ : $5 \times 1 + 3 \times 0 + 4 \times 2 + d = 0$ , soit $5 + 8 + d = 0$ , donc $d = - 13$ .

(A B C) : 5 x + 3 y + 4 z - 13 = 0

b) La droite $(O H)$ , où $O$ est l'origine, est-elle orthogonale au plan $(A B C)$ ? On veut savoir si $O H$ peut diriger une droite orthogonale au plan, c'est-à-dire si un vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal. Vérifions par exemple que le vecteur $w 534$ est bien orthogonal à $A B$ : $5 \times 1 + 3 \times 1 + 4 \times (- 2) = 5 + 3 - 8 = 0$ . C'est cohérent : $n$ est orthogonal au plan, donc toute droite de vecteur directeur $n$ lui est orthogonale.

c) Distance de $O$ au plan $(A B C)$ .

d (O, (A B C)) = \frac{∣5 \times 0 + 3 \times 0 + 4 \times 0 - 13∣}{5 ^{2} + 3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{13}{50} = \frac{13}{5 2} = \frac{13 2}{10} \approx 1, 84

9. Pièges à éviter

Normal vs directeur : un vecteur normal est orthogonal au plan ; un vecteur directeur est dans le plan. Dans l'équation $a x + b y + cz + d = 0$ , les coefficients donnent le vecteur NORMAL, pas un directeur.
Produit scalaire nul $\neq =$ vecteurs parallèles : cela signifie orthogonaux.
Le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur : n'écrivez jamais « $u \cdot v$ » suivi de coordonnées.
Repère orthonormé obligatoire : la formule $x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ n'est valable que dans un repère orthonormé.

À retenir

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$ (un nombre réel).
$∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .
$u \cdot v = 0 ⟺ u ⊥ v$ (orthogonalité, pas parallélisme).
Vecteur normal $n$ : orthogonal à deux directeurs non colinéaires du plan.
Équation d'un plan : $a x + b y + cz + d = 0$ avec $n a b c$ ; on trouve $d$ avec un point.
Distance : $d (M, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .