Méthode : réussir la géométrie dans l'espace

Pourquoi la géométrie dans l'espace fait peur (et comment la dompter)

La géométrie dans l'espace effraie souvent parce qu'on ne sait plus se repérer une fois la troisième dimension ajoutée. Pourtant, presque tout repose sur un seul outil : le produit scalaire. Une fois cette mécanique en place, les plans, les droites, les intersections et les distances deviennent une suite de calculs très réguliers. L'objectif de cette méthode est de vous donner les bons réflexes, dans le bon ordre.

1. Se placer dans un repère

On travaille dans un repère orthonormé $(O; i, j, k)$ . Chaque point $M$ est repéré par trois coordonnées $(x; y; z)$ , et chaque vecteur $u$ par trois composantes. Le mot orthonormé est capital : c'est lui qui valide toutes les formules qui suivent.

Le vecteur reliant deux points $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ a pour coordonnées :

$A B x_{B} - x_{A} y_{B} - y_{A} z_{B} - z_{A}$

et sa norme (la distance $A B$ ) vaut $∥ A B ∥ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .

2. Le produit scalaire, votre couteau suisse

Pour deux vecteurs $u (x; y; z)$ et $v (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ , l'expression analytique du produit scalaire est :

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$

C'est la formule à connaître par cœur. Elle sert à tout :

tester l'orthogonalité : $u ⊥ v$ si et seulement si $u \cdot v = 0$ ;
calculer un angle grâce à $u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos (u, v)$ ;
retrouver une norme car $u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$ .

Réflexe à garder : dès qu'un énoncé parle de perpendiculaire, de droite normale ou d'angle droit, sortez le produit scalaire.

3. Vecteur normal et équation cartésienne d'un plan

Le vecteur normal

Un vecteur normal $n$ à un plan $P$ est un vecteur non nul orthogonal à tous les vecteurs du plan. Un plan est entièrement déterminé par un point et un vecteur normal.

L'équation cartésienne

Si $n (a; b; c)$ est normal au plan $P$ , alors $P$ admet une équation de la forme :

$a x + b y + c z + d = 0$

Les coefficients $a$ , $b$ , $c$ sont exactement les coordonnées du vecteur normal : c'est la clé de lecture la plus utile de tout le chapitre. Pour trouver $d$ , on remplace $x$ , $y$ , $z$ par les coordonnées d'un point connu du plan.

Méthode type. Plan passant par $A (1; 2; - 1)$ et de normale $n (3; 0; 2)$ : l'équation commence par $3 x + 0 y + 2 z + d = 0$ . On injecte $A$ : $3 \times 1 + 2 \times (- 1) + d = 0$ , donc $d = - 1$ . Le plan a pour équation $3 x + 2 z - 1 = 0$ .

4. Représentation paramétrique d'une droite

Une droite est définie par un point $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ et un vecteur directeur $u (α; β; γ)$ . Un point $M (x; y; z)$ appartient à la droite s'il existe un réel $t$ tel que $A M = t u$ , ce qui donne la représentation paramétrique :

$⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + α t y = y_{A} + β t z = z_{A} + γ t (t \in R)$

Le paramètre $t$ est un curseur : à chaque valeur de $t$ correspond un unique point de la droite. Attention au piège : deux représentations qui semblent différentes peuvent décrire la même droite (autre point de départ, vecteur directeur colinéaire).

5. Étudier une intersection

Droite et plan

C'est la situation la plus fréquente. On part de la représentation paramétrique de la droite et on injecte $x$ , $y$ , $z$ (en fonction de $t$ ) dans l'équation cartésienne du plan. On obtient une équation à une inconnue $t$ :

une solution unique : la droite perce le plan en un point ; on remplace ce $t$ dans la paramétrique pour obtenir ses coordonnées ;
aucune solution (équation impossible, type $5 = 0$ ) : la droite est strictement parallèle au plan ;
une infinité de solutions ( $0 = 0$ ) : la droite est contenue dans le plan.

Deux plans

Deux plans non parallèles se coupent selon une droite. On résout le système formé par leurs deux équations cartésiennes en posant l'une des variables égale à un paramètre $t$ : on retombe sur une représentation paramétrique.

6. Distance d'un point à un plan

Pour mesurer l'écart entre un point $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ et le plan $P : a x + b y + c z + d = 0$ , on utilise la formule :

$d (M, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

Deux précautions s'imposent : la valeur absolue au numérateur (une distance est positive) et le fait que le dénominateur n'est autre que $∥ n ∥$ , la norme du vecteur normal. Cette distance correspond à la longueur du segment perpendiculaire abaissé de $M$ sur le plan.

La marche à suivre, en résumé

Identifiez les objets : point, vecteur directeur, vecteur normal.
Pour un plan, lisez la normale dans les coefficients $a$ , $b$ , $c$ ; pour une droite, repérez un point et un vecteur directeur.
Une intersection droite-plan se résout toujours en injectant la paramétrique dans l'équation cartésienne.
Le produit scalaire $x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ tranche toute question d'orthogonalité ou d'angle.

Avec ces réflexes, la troisième dimension n'a plus rien d'intimidant : ce ne sont que des calculs ordonnés. Entraînez-vous sur plusieurs configurations pour que la méthode devienne automatique le jour du contrôle.