Géométrie dans l'espace : équations de droites et plans

Se repérer dans l'espace

En Terminale spécialité, la géométrie dans l'espace repose sur un repère $(O; i, j, k)$ . Tout objet — point, droite, plan — se traduit par des coordonnées ou des équations. La compétence centrale du chapitre est de passer aisément d'une représentation à l'autre et d'utiliser le produit scalaire pour les questions d'orthogonalité et de distance.

Équation cartésienne d'un plan

Un plan $P$ passant par $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ et de vecteur normal $n (a, b, c)$ a pour équation :

a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0

En développant, on obtient la forme $a x + b y + cz + d = 0$ . Point essentiel : les coefficients $(a, b, c)$ sont exactement les coordonnées d'un vecteur normal au plan. Lire un vecteur normal sur une équation cartésienne est donc immédiat.

Représentation paramétrique d'une droite

Une droite $D$ passant par $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ et de vecteur directeur $u (α, β, γ)$ s'écrit :

⎩ ⎨ ⎧ x = x_{0} + t α y = y_{0} + tβ z = z_{0} + t γ, t \in R

Le paramètre $t$ joue le rôle de « curseur » : chaque valeur de $t$ donne un point de la droite.

Intersection d'une droite et d'un plan

La méthode est systématique : on injecte les expressions paramétriques de $D$ dans l'équation cartésienne de $P$ , ce qui donne une équation d'inconnue $t$ .

Solution unique en $t$ : un point d'intersection.
Équation $0 = 0$ : la droite est incluse dans le plan.
Équation impossible (ex. $0 = 3$ ) : la droite est parallèle au plan, non incluse.

Exemple résolu

Soit $P : 2 x - y + 3 z = 5$ et $D : (x, y, z) = (1, 0, 0) + t (1, 1, 1)$ .

Étape 1. On remplace : $2 (1 + t) - (0 + t) + 3 (0 + t) = 5$ .

Étape 2. On développe : $2 + 2 t - t + 3 t = 5$ , soit $2 + 4 t = 5$ .

Étape 3. On résout : $4 t = 3$ , donc $t = \frac{3}{4}$ .

Étape 4. On reporte dans les paramétriques : le point d'intersection est $(\frac{7}{4}, \frac{3}{4}, \frac{3}{4})$ .

Distance d'un point à un plan

La distance du point $M (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ au plan $P : a x + b y + cz + d = 0$ vaut :

d (M, P) = \frac{∣ a x _{1} + b y _{1} + c z _{1} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

La valeur absolue au numérateur est indispensable : une distance est toujours positive.

Position relative de deux plans

Soient $P_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0$ et $P_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0$ , de vecteurs normaux $n_{1}$ et $n_{2}$ .

Si $n_{1}$ et $n_{2}$ sont colinéaires :
- et les équations proportionnelles dans leur ensemble (constante comprise) : plans confondus ;
- sinon : plans strictement parallèles.
Sinon, $n_{1}$ et $n_{2}$ non colinéaires : les plans sont sécants selon une droite.

Produit scalaire dans l'espace

Pour $u (a, b, c)$ et $v (a^{'}, b^{'}, c^{'})$ : $u \cdot v = a a^{'} + b b^{'} + c c^{'}$ .

Deux applications majeures :

Orthogonalité : $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$ .
Angle : $cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥}$ .

À retenir

Plan : $a x + b y + cz + d = 0$ , vecteur normal $n (a, b, c)$ .
Droite : représentation paramétrique avec un point et un vecteur directeur.
Intersection droite/plan : substituer puis résoudre en $t$ .
Distance point–plan : $\frac{∣ a x _{1} + b y _{1} + c z _{1} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .

Pièges à éviter

Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan.
Mal lire les coefficients d'une équation cartésienne (attention aux signes).
Oublier la valeur absolue dans la formule de distance.
Conclure « parallèles » sans vérifier qu'ils ne sont pas confondus.

Du système d'équations à la représentation paramétrique

Une droite de l'espace peut aussi être définie comme l'intersection de deux plans, donc par un système de deux équations cartésiennes. Pour obtenir une représentation paramétrique, on pose l'une des coordonnées égale au paramètre (par exemple $z = t$ ) puis on exprime les deux autres en fonction de $t$ .

Exemple. Soit la droite définie par ${x + y - z = 1 x - y + z = 3$ . En additionnant les deux équations, on obtient $2 x = 4$ , soit $x = 2$ . En posant $z = t$ , la première équation donne $y = 1 - x + z = - 1 + t$ . La représentation paramétrique est donc $⎩ ⎨ ⎧ x = 2 y = - 1 + t z = t$ , de vecteur directeur $u (0, 1, 1)$ .

Vecteur normal et produit vectoriel

Pour trouver un vecteur normal à un plan défini par deux vecteurs directeurs $u$ et $v$ , on cherche un vecteur $n$ orthogonal aux deux, c'est-à-dire vérifiant $n \cdot u = 0$ et $n \cdot v = 0$ . Cela donne un système de deux équations à résoudre. Une fois $n (a, b, c)$ connu et un point $A$ du plan donné, on détermine $d$ en injectant les coordonnées de $A$ dans $a x + b y + cz + d = 0$ .

Orthogonalité droite–plan

Une droite $D$ de vecteur directeur $u$ est orthogonale à un plan $P$ de vecteur normal $n$ si et seulement si $u$ et $n$ sont colinéaires. Inversement, $D$ est parallèle à $P$ si et seulement si $u \cdot n = 0$ (le directeur est orthogonal au normal). Ces deux critères reviennent très souvent dans les exercices de positions relatives.

Voir aussi : cours de géométrie dans l'espace en Terminale.