Comment justifier : citer le théorème comme un pro

Pourquoi citer un théorème par son nom rapporte des points

Au bac, écrire « D'après le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) » rapporte davantage que « d'après le cours » ou « comme on l'a vu ». Le correcteur veut vérifier que tu sais exactement quel résultat tu utilises et que ses hypothèses sont réunies. Une justification bien nommée, c'est un point gagné ; une justification floue, c'est un point perdu. En Première et Terminale spé Maths, la rédaction se note autant que le calcul.

La structure d'une justification complète

Une bonne justification se déroule toujours en trois temps :

1. Vérifier les hypothèses : « $f$ est continue sur $[a,b]$ et strictement croissante… »
2. Citer le théorème par son nom : « …d'après le théorème de la bijection… »
3. Énoncer la conclusion : « …l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution. »

Sans les hypothèses, le nom seul ne suffit pas : un théorème mal appliqué (hypothèses non vérifiées) ne vaut rien.

Les théorèmes phares de l'analyse

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe au moins un réel $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=k$. Mots-clés à vérifier : continuité et valeur intermédiaire.

Théorème de la bijection (corollaire du TVI)

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$, alors pour tout $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution. C'est lui qui justifie « il existe un unique $c$ ».

Théorème des gendarmes (encadrement)

Si $g(x)\le f(x)\le h(x)$ au voisinage de $a$ et si $\lim g=\lim h=L$, alors $\lim f=L$.

Théorème de la limite d'une fonction composée

Si $\underset{x\to a}{\lim }u(x)=b$ et $\underset{X\to b}{\lim }v(X)=\ell$, alors $\underset{x\to a}{\lim }v(u(x))=\ell$. C'est ce résultat qui légitime « par composition des limites ».

Les théorèmes d'algèbre et de suites

Théorème de comparaison des suites

Si $u_n\le v_n$ à partir d'un certain rang et si $\lim u_n=+\infty$, alors $\lim v_n=+\infty$.

Théorème de convergence monotone

Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Attention : ce théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur.

Théorème du point fixe

Si $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue, alors $\ell$ vérifie $f(\ell )=\ell$.

Inégalité des accroissements finis

Si $f$ est dérivable sur $[a,b]$ et si $|f^{\prime }(x)|\le M$ pour tout $x$, alors $|f(b)-f(a)|\le M|b-a|$. On l'invoque pour majorer un écart ou prouver qu'une suite récurrente converge.

Exemple résolu : une rédaction modèle

Énoncé. Montrer que l'équation $x^3+x-1=0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.

Rédaction attendue.

1. Posons $f(x)=x^3+x-1$. La fonction $f$ est un polynôme, donc continue et dérivable sur $\mathbb{R}$.
2. $f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ pour tout $x$, donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
3. De plus $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$.
4. D'après le théorème de la bijection, $f$ continue et strictement croissante réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ ; comme $0$ appartient à l'image, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
5. Enfin, $f(0)=-1<0$ et $f(1)=1>0$, donc par le TVI, $\alpha \in ]0;1[$.

Chaque « donc » s'appuie sur une propriété nommée : c'est exactement ce que le correcteur attend.

Les pièges classiques de rédaction

• Citer le TVI pour conclure à l'unicité : le TVI donne l'existence, c'est le théorème de la bijection (avec la stricte monotonie) qui donne l'unicité.
• Oublier une hypothèse : invoquer le théorème de convergence monotone sans avoir prouvé que la suite est majorée.
• Confondre « majorée » et « bornée », ou « croissante » et « strictement croissante ».
• Écrire « c'est évident » : en mathématiques, rien n'est évident sans justification nommée.
• Appliquer un théorème sur un intervalle où l'hypothèse tombe (continuité, dérivabilité non vérifiées en un point).

À retenir

Une justification = hypothèses vérifiées + nom du théorème + conclusion. Apprends à distinguer les théorèmes proches : le TVI donne l'existence, la bijection ajoute l'unicité ; la convergence monotone donne l'existence d'une limite, le point fixe en donne la valeur. Nommer précisément le bon résultat est, au bac, la différence entre une copie correcte et une copie excellente.