Intégrales et primitives en Terminale : guide complet

Pourquoi l'intégration est cruciale en Terminale

Le calcul intégral est au programme de Terminale spécialité et apparaît dans la quasi-totalité des sujets du bac, souvent réparti sur plusieurs questions. C'est aussi l'un des chapitres les plus techniques : une seule erreur de signe ou de borne peut coûter toute une question. Ce guide rassemble les outils indispensables.

Primitive : la définition à ne pas perdre de vue

Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F^{\prime }(x)=f(x)$ pour tout $x\in I$. Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : si $F$ est une primitive de $f$, toutes les primitives sont de la forme $F(x)+C$, avec $C\in \mathbb{R}$.

Le tableau des primitives usuelles

Voici les primitives à connaître par cœur (avec $C$ une constante réelle) :

• $f(x)=x^n(n\ne -1)$ : $F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$.
• $f(x)=\frac{1}{x}$ sur $]0,+\infty [$ : $F(x)=\ln x+C$ (et $\ln |x|$ en général).
• $f(x)=e^x$ : $F(x)=e^x+C$.
• $f(x)=\cos x$ : $F(x)=\sin x+C$.
• $f(x)=\sin x$ : $F(x)=-\cos x+C$.
• $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ sur $]0,+\infty [$ : $F(x)=2\sqrt{x}+C$.

Les formules composées prolongent ce tableau, par exemple $\int u^{\prime }{e}^{u}dx=e^u+C$, $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+C$ et $\int u^{\prime }{u}^{n}dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C$.

Le théorème fondamental

Si $F$ est une primitive de $f$ continue sur $[a,b]$, alors :

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=[F(x){]}_a^b=F(b)-F(a)$$

Calculer une intégrale revient donc à trouver une primitive puis à évaluer la différence aux bornes. L'orientation compte : $\underset{b}{\overset{a}{\int }}f=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f$.

Propriétés utiles de l'intégrale

• Linéarité : $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\lambda f+\mu g)=\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}f+\mu \underset{a}{\overset{b}{\int }}g$.
• Relation de Chasles : $\underset{a}{\overset{c}{\int }}f=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f+\underset{b}{\overset{c}{\int }}f$.
• Positivité : si $f\ge 0$ sur $[a,b]$ (avec $a\le b$), alors $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\ge 0$.

L'intégration par parties (IPP)

Lorsque l'intégrande est un produit, l'IPP est souvent la clé :

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)v^{\prime }(x)dx=[u(x)v(x){]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }(x)v(x)dx$$

L'astuce : choisir $u$ comme la partie qui se simplifie en dérivant (typiquement $\ln x$ ou $x$) et $v^{\prime }$ comme la partie facile à intégrer (comme $e^x$).

Exemple résolu : $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^{x}dx$

Étape 1 — choix. On pose $u(x)=x$ et $v^{\prime }(x)=e^x$. Alors $u^{\prime }(x)=1$ et $v(x)=e^x$.

Étape 2 — formule.

$$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^{x}dx=[x{e}^x{]}_0^1-\underset{0}{\overset{1}{\int }}1\cdot e^{x}dx$$

Étape 3 — le terme tout intégré. $[x{e}^x{]}_0^1=1\cdot e^1-0\cdot e^0=e$.

Étape 4 — l'intégrale restante. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx=[e^x{]}_0^1=e-1$.

Étape 5 — conclusion. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^{x}dx=e-(e-1)=1$.

Calcul d'aires

Si $f\ge 0$ sur $[a,b]$, l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ vaut $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ (en unités d'aire). Entre deux courbes $f$ et $g$ avec $f\ge g$ sur $[a,b]$, l'aire vaut $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)-g(x))dx$.

Valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ (avec $a<b$) est :

$$\mu =\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$$

C'est la hauteur du rectangle de base $[a,b]$ ayant la même aire que celle sous la courbe.

Pièges à éviter

• Oublier le signe — dans $\int \sin xdx=-\cos x+C$.
• Confondre primitive et dérivée : vérifie toujours en dérivant ton $F$.
• Inverser les bornes sans changer le signe : $\underset{b}{\overset{a}{\int }}f=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f$.
• En IPP, mal choisir $u$ et $v^{\prime }$, ce qui complique au lieu de simplifier.
• Oublier la valeur absolue dans $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+C$.

Intégrale d'une fonction de signe variable

Quand $f$ change de signe sur $[a,b]$, l'intégrale $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f$ n'est plus l'aire « brute » : les parties situées sous l'axe comptent négativement. Pour obtenir l'aire géométrique du domaine, on découpe l'intervalle aux points où $f$ s'annule et on prend la valeur absolue sur chaque morceau. Par exemple, pour $f(x)=\sin x$ sur $[0,2\pi ]$, on a $\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\sin xdx=0$ (les deux bosses se compensent), alors que l'aire vaut $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin xdx-\underset{\pi }{\overset{2\pi }{\int }}\sin xdx=2+2=4$.

Intégrale et primitive : la fonction définie par une intégrale

Si $f$ est continue sur $I$ et $a\in I$, la fonction $G(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$. Autrement dit, $G^{\prime }(x)=f(x)$ et $G(a)=0$. Ce résultat, appelé théorème fondamental de l'analyse, justifie tout le lien entre dérivation et intégration : ce sont deux opérations réciproques.

Conseils de méthode au bac

• Reconnaître la forme avant de calculer : une primitive directe ? une forme $\frac{u^{\prime }}{u}$ ? un produit appelant l'IPP ?
• Vérifier en dérivant : si tu doutes d'une primitive, dérive-la mentalement pour retomber sur l'intégrande.
• Soigner les bornes : recopie-les à chaque ligne, c'est la source d'erreur n°1.
• Encadrer pour les suites d'intégrales : beaucoup d'exercices demandent de majorer $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f$ à partir d'un encadrement de $f$, sans calcul explicite de primitive.

Pour t'entraîner : méthodes de calcul d'intégrales en Terminale.