Étudier les fonctions logarithme et exponentielle

Deux fonctions au cœur du programme

En Terminale spécialité, la fonction logarithme népérien $ln$ et la fonction exponentielle $exp$ sont omniprésentes : étude de fonctions, équations, inéquations, limites, primitives, modélisation. Les maîtriser, c'est s'assurer une bonne partie des points du bac. La bonne nouvelle : elles sont réciproques l'une de l'autre, donc tout ce que tu sais sur l'une se transpose sur l'autre.

La fonction logarithme népérien $ln$

La fonction $ln$ est l'unique primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $] 0, + \infty [$ qui s'annule en $1$ .

Domaine : $] 0, + \infty [$ . On ne peut prendre le logarithme que d'un nombre strictement positif.
Dérivée : $ln^{'} (x) = \frac{1}{x}$ sur $] 0, + \infty [$ .
Variations : strictement croissante, car $ln^{'} (x) = \frac{1}{x} > 0$ .
Limites : $x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$ et $x \to + \infty lim ln x = + \infty$ .
Valeurs clés : $ln 1 = 0$ et $ln e = 1$ .

Propriétés algébriques (avec $a, b > 0$ )

$ln (ab) = ln a + ln b$ : le log transforme un produit en somme.
$ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$ .
$ln (a^{n}) = n ln a$ pour tout entier $n$ .
$ln (a) = \frac{1}{2} ln a$ .

La fonction exponentielle $exp$

On note $exp (x) = e^{x}$ . C'est l'unique fonction égale à sa propre dérivée et valant $1$ en $0$ .

Domaine : $R$ tout entier.
Dérivée : $(e^{x})^{'} = e^{x}$ . Elle est sa propre dérivée, propriété unique et fondamentale.
Variations : strictement croissante.
Limites : $x \to - \infty lim e^{x} = 0^{+}$ et $x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$ .
Signe : $e^{x} > 0$ pour tout $x \in R$ . C'est ce qui permet de simplifier par $e^{x}$ sans changer le sens d'une inéquation.

Propriétés algébriques

$e^{a + b} = e^{a} \cdot e^{b}$ : l'exponentielle transforme une somme en produit.
$e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}$ .
$(e^{a})^{n} = e^{na}$ .
$e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$ .

Deux fonctions réciproques

$ln$ et $exp$ sont réciproques l'une de l'autre :

$ln (e^{x}) = x$ pour tout $x \in R$ .
$e^{l n x} = x$ pour tout $x > 0$ .

Conséquence graphique : leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite $y = x$ . Cette réciprocité est l'outil n°1 pour résoudre les équations : $e^{X} = k ⟺ X = ln k$ (si $k > 0$ ), et $ln X = k ⟺ X = e^{k}$ .

Croissances comparées (incontournables)

À l'infini, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, et toute puissance l'emporte sur le logarithme. Pour tout entier $n \geq 1$ :

x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty, x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{n}} = 0

x \to 0^{+} lim x^{n} ln x = 0, x \to - \infty lim x^{n} e^{x} = 0

Ces quatre limites permettent de lever la plupart des formes indéterminées du type $\infty \times 0$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ que tu rencontreras.

Exemple résolu : étude de $f (x) = x e^{- x}$

Étape 1 — Domaine. $f$ est définie sur $R$ (produit de deux fonctions définies partout).

Étape 2 — Dérivée. En dérivant un produit, $f^{'} (x) = 1 \cdot e^{- x} + x \cdot (- e^{- x}) = (1 - x) e^{- x}$ .

Étape 3 — Signe de $f^{'}$ . Comme $e^{- x} > 0$ , le signe de $f^{'} (x)$ est celui de $(1 - x)$ : positif si $x < 1$ , négatif si $x > 1$ .

Étape 4 — Variations. $f$ est croissante sur $] - \infty, 1]$ puis décroissante sur $[1, + \infty [$ . Elle admet un maximum en $x = 1$ , valant $f (1) = 1 \cdot e^{- 1} = \frac{1}{e} \approx 0, 37$ .

Étape 5 — Limites. En $- \infty$ : $x \to - \infty$ et $e^{- x} \to + \infty$ , donc $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ . En $+ \infty$ , on reconnaît une croissance comparée : $x \to + \infty lim x e^{- x} = x \to + \infty lim \frac{x}{e ^{x}} = 0$ . L'axe des abscisses est donc asymptote horizontale en $+ \infty$ .

À retenir

$ln$ : définie sur $] 0, + \infty [$ , croissante, $ln^{'} = \frac{1}{x}$ , transforme produit en somme.
$exp$ : définie sur $R$ , croissante, toujours strictement positive, égale à sa dérivée.
Réciproques : $ln (e^{x}) = x$ et $e^{l n x} = x$ ; courbes symétriques par rapport à $y = x$ .
Croissances comparées : l'exponentielle écrase la puissance, la puissance écrase le log.

Pièges à éviter

Confondre $ln a + ln b$ et $ln (a + b)$ : c'est $ln (ab) = ln a + ln b$ , jamais une somme à l'intérieur.
Oublier la valeur absolue : $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ .
Croire que $e^{x}$ peut s'annuler : il est strictement positif, donc on peut toujours diviser par lui.
Appliquer une croissance comparée sans vérifier que la forme est bien indéterminée.

Résoudre équations et inéquations

La réciprocité $ln \leftrightarrow exp$ et la stricte croissance des deux fonctions sont les outils de résolution. Comme $exp$ est strictement croissante, $e^{A} = e^{B} ⟺ A = B$ et $e^{A} < e^{B} ⟺ A < B$ ; de même pour $ln$ sur $] 0, + \infty [$ .

Exemple. Résoudre $e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$ . On pose $X = e^{x}$ (avec $X > 0$ ). L'équation devient $X^{2} - 3 X + 2 = 0$ , dont les racines sont $X = 1$ et $X = 2$ . On revient à $x$ : $e^{x} = 1 ⟺ x = 0$ , et $e^{x} = 2 ⟺ x = ln 2$ . Les solutions sont donc $x = 0$ et $x = ln 2$ .

Pour une inéquation comme $ln (x) < 1$ , on écrit, sur le domaine $x > 0$ : $ln x < ln e ⟺ x < e$ . La solution est $] 0, e [$ (on n'oublie pas la condition d'existence $x > 0$ ).

Logarithme décimal et autres bases

Le logarithme décimal $lo g$ se définit à partir du népérien : $lo g (x) = \frac{ln x}{ln 10}$ . Il est utile en sciences (pH, échelle de Richter, décibels) car $lo g (1 0^{n}) = n$ . Plus généralement, pour une base $a > 0$ et $a \neq = 1$ , $lo g_{a} (x) = \frac{ln x}{ln a}$ , ce qui ramène toute base au logarithme népérien que tu maîtrises.

Pour t'entraîner : chapitre logarithme et exponentielle en Terminale.