Linéariser une expression trigonométrique : méthode complète

Linéariser : de quoi parle-t-on ?

Linéariser une expression trigonométrique, c'est la réécrire sous forme d'une somme (et non d'un produit ou d'une puissance) de termes du type $cos (k x)$ et $sin (k x)$ , avec des coefficients constants. Concrètement, on passe de quelque chose comme $cos^{4} x$ à une combinaison du type $a + b cos (2 x) + c cos (4 x)$ .

Pourquoi se donner cette peine ? Parce qu'une somme de cosinus et de sinus est immédiate à intégrer ou à dériver, alors qu'un produit ou une puissance ne l'est pas. La linéarisation est donc l'outil de référence dès qu'on rencontre une intégrale du type $\int cos^{n} x d x$ ou $\int sin^{p} x cos^{q} x d x$ en Terminale spé et en classes préparatoires.

Les formules à connaître par cœur

Les trois identités issues des formules de duplication suffisent pour les petits exposants :

$cos^{2} x = \frac{1 + cos ( 2 x )}{2}$
$sin^{2} x = \frac{1 - cos ( 2 x )}{2}$
$cos x sin x = \frac{sin ( 2 x )}{2}$

Pour transformer un produit de deux angles différents, on utilise les formules de produit en somme :

$cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)]$
$sin a sin b = \frac{1}{2} [cos (a - b) - cos (a + b)]$
$sin a cos b = \frac{1}{2} [sin (a + b) + sin (a - b)]$

Méthode 1 — substitutions successives

Pour les exposants pairs petits, on remplace pas à pas chaque carré par sa formule de linéarisation, puis on re-linéarise les carrés qui réapparaissent.

Exemple résolu — linéariser $cos^{4} x$

Étape 1. On écrit $cos^{4} x = (cos^{2} x)^{2} = (\frac{1 + cos ( 2 x )}{2})^{2}$ .

Étape 2. On développe le carré :

$cos^{4} x = \frac{1 + 2 cos ( 2 x ) + cos ^{2} ( 2 x )}{4}$ .

Étape 3. Le terme $cos^{2} (2 x)$ est encore une puissance : on le linéarise à son tour avec $cos^{2} u = \frac{1 + cos ( 2 u )}{2}$ où $u = 2 x$ , soit $cos^{2} (2 x) = \frac{1 + cos ( 4 x )}{2}$ .

Étape 4. On remplace et on réduit au même dénominateur :

$cos^{4} x = \frac{1 + 2 cos ( 2 x ) + \frac{1 + c o s ( 4 x )}{2}}{4} = \frac{3 + 4 cos ( 2 x ) + cos ( 4 x )}{8}$ .

On obtient bien une somme : on peut maintenant l'intégrer terme à terme.

Méthode 2 — les formules d'Euler (puissances élevées)

Dès que l'exposant dépasse $3$ ou $4$ , la méthode systématique passe par les formules d'Euler :

$cos x = \frac{e ^{i x} + e ^{- i x}}{2}, sin x = \frac{e ^{i x} - e ^{- i x}}{2 i} .$

Le principe : on élève à la puissance $n$ , on développe avec le binôme de Newton, puis on regroupe les termes conjugués $e^{ik x}$ et $e^{- ik x}$ pour reconstituer des $cos (k x)$ ou $sin (k x)$ , grâce à $e^{ik x} + e^{- ik x} = 2 cos (k x)$ et $e^{ik x} - e^{- ik x} = 2 i sin (k x)$ .

Exemple résolu — linéariser $sin^{3} x$

Étape 1. On applique Euler :

$sin^{3} x = (\frac{e ^{i x} - e ^{- i x}}{2 i})^{3} = \frac{( e ^{i x} - e ^{- i x} ) ^{3}}{( 2 i ) ^{3}} = \frac{( e ^{i x} - e ^{- i x} ) ^{3}}{- 8 i}$ .

Étape 2. On développe le cube avec le binôme :

$(e^{i x} - e^{- i x})^{3} = e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - e^{- 3 i x}$ .

Étape 3. On regroupe par paires conjuguées :

$= (e^{3 i x} - e^{- 3 i x}) - 3 (e^{i x} - e^{- i x}) = 2 i sin (3 x) - 3 \cdot 2 i sin x = 2 i (sin (3 x) - 3 sin x)$ .

Étape 4. On divise :

$sin^{3} x = \frac{2 i ( sin ( 3 x ) - 3 sin x )}{- 8 i} = \frac{3 sin x - sin ( 3 x )}{4}$ .

On vérifie sur un point : pour $x = \frac{π}{2}$ , à gauche $sin^{3} (\frac{π}{2}) = 1$ ; à droite $\frac{3 \cdot 1 - s i n ( \frac{3 π}{2} )}{4} = \frac{3 - ( - 1 )}{4} = 1$ . Cohérent.

Application directe : l'intégration

La linéarisation rend les intégrales triviales. Par exemple :

$\int cos^{2} x d x = \int \frac{1 + cos ( 2 x )}{2} d x = \frac{x}{2} + \frac{sin ( 2 x )}{4} + C .$

De même, à partir du résultat précédent :

$\int sin^{3} x d x = \int \frac{3 sin x - sin ( 3 x )}{4} d x = \frac{- 3 cos x + \frac{1}{3} cos ( 3 x )}{4} + C .$

Sans linéarisation, ces calculs seraient bien plus pénibles.

Les pièges classiques

Confondre $cos (2 x)$ et $2 cos x$ : ce sont deux quantités totalement différentes. La linéarisation produit des angles multiples, jamais des coefficients devant l'angle.
Oublier le facteur $\frac{1}{2}$ dans les formules de produit en somme : c'est l'erreur la plus fréquente en correction.
Se tromper de signe avec $sin$ : attention à $(2 i)^{3} = - 8 i$ et au $i$ au dénominateur, qui changent les signes.
Mal développer $(e^{i x} \pm e^{- i x})^{n}$ : les coefficients du binôme et l'alternance de signes pour la différence sont sources d'erreurs.

Linéariser un produit d'angles différents

La linéarisation ne concerne pas que les puissances : un produit comme $cos (3 x) cos (5 x)$ se ramène aussi à une somme. On applique directement la formule de produit en somme :

$cos (3 x) cos (5 x) = \frac{1}{2} [cos (3 x - 5 x) + cos (3 x + 5 x)] = \frac{1}{2} [cos (2 x) + cos (8 x)]$ ,

en utilisant la parité $cos (- 2 x) = cos (2 x)$ . C'est ce qui rend calculable une intégrale comme $0 \int π cos (3 x) cos (5 x) d x$ , fréquente dans les calculs de séries de Fourier.

Cas mixte : $sin^{2} x cos^{2} x$

On peut combiner les techniques. Ici, on reconnaît $sin x cos x = \frac{1}{2} sin (2 x)$ , donc :

$sin^{2} x cos^{2} x = (sin x cos x)^{2} = (\frac{sin ( 2 x )}{2})^{2} = \frac{sin ^{2} ( 2 x )}{4}$ .

Puis on linéarise $sin^{2} (2 x) = \frac{1 - cos ( 4 x )}{2}$ , d'où :

$sin^{2} x cos^{2} x = \frac{1 - cos ( 4 x )}{8}$ .

On en déduit immédiatement $\int sin^{2} x cos^{2} x d x = \frac{x}{8} - \frac{sin ( 4 x )}{32} + C$ .

À retenir

Pour un petit exposant pair, substitue directement $cos^{2} = \frac{1 + c o s 2 x}{2}$ et $sin^{2} = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$ , puis re-linéarise les carrés restants. Pour un exposant élevé, passe par les formules d'Euler et le binôme de Newton. Pour un produit d'angles, applique les formules de produit en somme. Le but est toujours le même : obtenir une somme de $cos (k x)$ et $sin (k x)$ , directement intégrable.

Voir aussi : fiche identités trigonométriques.