Calculer une intégrale : 4 méthodes au-delà de l'IPP

Avant de te lancer : choisis la bonne méthode

L'intégration par parties (IPP) est utile, mais c'est souvent la méthode la plus lourde. Avant de la dégainer, vérifie si l'une de ces techniques plus rapides ne s'applique pas. En Terminale spé Maths, savoir reconnaître la forme d'une intégrale fait gagner un temps précieux le jour du bac. Voici les quatre grandes méthodes, plus une astuce bonus.

Méthode 1 — Primitive directe

Si l'intégrande est la dérivée d'une fonction connue, la primitive est immédiate. C'est le réflexe à avoir en premier.

Exemple simple : $\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx=[\frac{x^2}{2}{]}_0^1=\frac{1}{2}$.

Les formes à reconnaître faisant intervenir une fonction $u$ et sa dérivée $u^{\prime }$ :

• $\int u^{\prime }{u}^{n}dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C$ (pour $n\ne -1$) ;
• $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+C$ ;
• $\int u^{\prime }{e}^{u}dx=e^u+C$ ;
• $\int u^{\prime }\cos udx=\sin u+C$ et $\int u^{\prime }\sin udx=-\cos u+C$.

Méthode 2 — Décomposition par linéarité

L'intégrale est linéaire : on peut séparer une somme et sortir les constantes.

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\lambda f(x)+\mu g(x))dx=\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\mu \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$$

Exemple : $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(3x^2+2x+1)dx=[x^3+x^2+x{]}_0^1=1+1+1=3$.

Cette méthode casse une expression compliquée en morceaux élémentaires que l'on primitive un par un.

Méthode 3 — Changement de variable

Principe : on pose $u=\phi (x)$, d'où $du={\phi }^{\prime }(x)dx$, et l'intégrale se réécrit entièrement en fonction de $u$. Sur une intégrale définie, il faut changer les bornes.

Exemple résolu pas à pas. Calculons $\underset{0}{\overset{2}{\int }}x\sqrt{x^2+1}dx$.

1. Choix du changement : on pose $u=x^2+1$.
2. Différentielle : $du=2xdx$, donc $xdx=\frac{du}{2}$.
3. Nouvelles bornes : pour $x=0$, $u=1$ ; pour $x=2$, $u=5$.
4. Réécriture : $\underset{0}{\overset{2}{\int }}x\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{5}{\int }}\sqrt{u}du$.
5. Primitive : $\frac{1}{2}[\frac{u^{3/2}}{3/2}{]}_1^5=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}[u^{3/2}{]}_1^5=\frac{1}{3}(5\sqrt{5}-1).$

On obtient donc $\underset{0}{\overset{2}{\int }}x\sqrt{x^2+1}dx=\frac{5\sqrt{5}-1}{3}\approx 3,39$.

Méthode 4 — Décomposition en éléments simples

Pour une fraction rationnelle $\frac{P(x)}{Q(x)}$ dont le dénominateur se factorise, on décompose en somme de fractions élémentaires intégrables en logarithme.

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}$$

Les constantes $A$ et $B$ se trouvent par identification ou par la « méthode du cache » (on multiplie par $(x-a)$ puis on remplace $x$ par $a$). Chaque terme s'intègre ensuite en $A\ln |x-a|+B\ln |x-b|+C$.

Deuxième exemple résolu — une fraction en logarithme

Calculons $\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{1}{x^2-1}dx$ par éléments simples.

1. Factoriser le dénominateur : $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
2. Décomposer : $\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$. En multipliant par $(x-1)$ puis $x=1$ : $A=\frac{1}{2}$. De même $B=-\frac{1}{2}$.
3. Primitiver : $\frac{1}{2}[\ln |x-1|-\ln |x+1|{]}_2^3=\frac{1}{2}[\ln \frac{x-1}{x+1}{]}_2^3.$
4. Évaluer : $\frac{1}{2}(\ln \frac{2}{4}-\ln \frac{1}{3})=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}.$

On retiendra que toute fraction rationnelle à racines simples se ramène ainsi à une somme de logarithmes.

Astuce bonus — Symétries et périodicité

Avant tout calcul, observe la fonction : une symétrie peut tout simplifier.

• $f$ paire : $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=2\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$ ;
• $f$ impaire : $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=0$ (réflexe qui fait gagner tout un calcul !) ;
• $f$ périodique de période $T$ : $\underset{a}{\overset{a+T}{\int }}f=\underset{0}{\overset{T}{\int }}f$.

Quel outil pour quelle forme ?

Forme de l'intégrande	Méthode conseillée
Polynôme	Primitive directe
Produit type $u^{\prime }(x)f(u(x))$	Changement de variable
Fraction rationnelle	Éléments simples
Produit $f(x)g(x)$ sans motif simple (ex. $x{e}^x$)	IPP
Fonction paire / impaire / périodique	Symétrie

Les erreurs à éviter

• Oublier la constante $C$ dans une primitive (uniquement pour les intégrales indéfinies ; inutile pour une intégrale définie).
• Ne pas changer les bornes lors d'un changement de variable sur une intégrale définie.
• Écrire $\ln x$ au lieu de $\ln |x|$ : la valeur absolue est obligatoire car on intègre sur un intervalle où $u$ peut être négatif.
• Confondre les signes des primitives de $\sin$ et $\cos$ : $\int \cos =\sin$, mais $\int \sin =-\cos$.

À retenir

Avant l'IPP, teste toujours dans cet ordre : primitive directe, linéarité, changement de variable, éléments simples. Un coup d'œil aux symétries peut annuler tout un calcul. Et sur une intégrale définie par changement de variable, change les bornes : c'est l'erreur la plus pénalisée.