Convexité d'une fonction : dérivée seconde et point d'inflexion (méthode)

La convexité, c'est une question qui revient presque chaque année au bac : on vous demande d'étudier le signe de la dérivée seconde, de justifier qu'une courbe est au-dessus ou en dessous de ses tangentes, ou de déterminer un point d'inflexion. C'est une méthode très mécanique une fois qu'on a compris le réflexe : tout repose sur le signe de $f^{\prime \prime }$.

Définition : convexe ou concave ?

On dit qu'une fonction $f$ est :

• convexe sur un intervalle $I$ si sa courbe « tourne vers le haut » (elle forme un creux, comme un bol). Graphiquement, la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, et toute corde reliant deux points de la courbe est au-dessus de la courbe.
• concave sur $I$ si sa courbe « tourne vers le bas » (comme une cloche). La courbe est alors en dessous de ses tangentes, et les cordes sont sous la courbe.

Un bon moyen mnémotechnique : la fonction $x\mapsto x^2$ est convexe (elle ressemble à un sourire), et $x\mapsto -x^2$ est concave (elle fait la moue).

Le lien avec la dérivée seconde

Voici le théorème central, celui qu'il faut connaître par cœur. Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ :

• $f$ est convexe sur $I$ $⟺$ $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pour tout $x\in I$ ;
• $f$ est concave sur $I$ $⟺$ $f^{\prime \prime }(x)\le 0$ pour tout $x\in I$.

Autrement dit : le signe de $f^{\prime \prime }$ donne directement la convexité. Étudier la convexité de $f$ revient donc exactement à étudier le signe de $f^{\prime \prime }$, comme on étudie le signe de $f^{\prime }$ pour les variations.

Une autre façon de le dire : $f$ est convexe lorsque $f^{\prime }$ est croissante (la pente des tangentes augmente), et concave lorsque $f^{\prime }$ est décroissante. C'est cohérent, car $f^{\prime \prime }$ est la dérivée de $f^{\prime }$.

Le point d'inflexion

Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité : elle passe de convexe à concave (ou l'inverse). C'est l'endroit où la courbe « traverse » sa propre tangente.

Le critère à retenir absolument :

Le point d'abscisse $a$ est un point d'inflexion $⟺$ $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe en $a$.

Attention au piège : il ne suffit pas que $f^{\prime \prime }(a)=0$. Il faut que $f^{\prime \prime }$ change de signe de part et d'autre de $a$. Par exemple pour $f(x)=x^4$, on a $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$, qui s'annule en $0$ mais reste positif partout : $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$, et il n'y a aucun point d'inflexion en $0$.

Méthode pas à pas

• Étape 1. Calculer la dérivée première $f^{\prime }(x)$.
• Étape 2. Dériver à nouveau pour obtenir la dérivée seconde $f^{\prime \prime }(x)$.
• Étape 3. Étudier le signe de $f^{\prime \prime }(x)$ sur l'intervalle d'étude (factorisation, tableau de signes).
• Étape 4. Conclure : $f$ est convexe là où $f^{\prime \prime }\ge 0$, concave là où $f^{\prime \prime }\le 0$.
• Étape 5. Repérer les valeurs où $f^{\prime \prime }$ change de signe : ce sont les abscisses des points d'inflexion. Calculer l'ordonnée correspondante $f(a)$ pour donner les coordonnées du point.

Exemple résolu complet

Étudions la convexité de $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$.

Étape 1 — dérivée première :

$$f^{\prime }(x)=3x^2-3$$

Étape 2 — dérivée seconde :

$$f^{\prime \prime }(x)=6x$$

Étape 3 — signe de $f^{\prime \prime }$ : $f^{\prime \prime }(x)=6x$ est du signe de $x$. Donc :

• $f^{\prime \prime }(x)<0$ pour $x<0$ ;
• $f^{\prime \prime }(x)>0$ pour $x>0$ ;
• $f^{\prime \prime }(x)=0$ pour $x=0$.

Étape 4 — conclusion sur la convexité :

• sur $]-\infty ;0]$, $f$ est concave (car $f^{\prime \prime }\le 0$) ;
• sur $[0;+\infty [$, $f$ est convexe (car $f^{\prime \prime }\ge 0$).

Étape 5 — point d'inflexion : $f^{\prime \prime }$ s'annule en $0$ en changeant de signe (de négatif à positif). Il y a donc un point d'inflexion en $x=0$. Son ordonnée vaut $f(0)=0^3-3\times 0=0$. Le point d'inflexion est donc l'origine $(0;0)$.

Interprétation graphique : courbe et tangentes

L'intérêt de la convexité au bac est souvent de comparer la position de la courbe et d'une tangente sans avoir à calculer une différence compliquée :

• Si $f$ est convexe sur $I$, la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$ : pour tout $x$, $f(x)\ge f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$.
• Si $f$ est concave sur $I$, la courbe est en dessous de ses tangentes.

Au point d'inflexion, la tangente traverse la courbe : d'un côté la courbe est au-dessus, de l'autre en dessous. C'est ce qui caractérise visuellement l'inflexion.

Pièges classiques à éviter

• Confondre $f^{\prime }$ et $f^{\prime \prime }$ : le signe de $f^{\prime }$ donne les variations, le signe de $f^{\prime \prime }$ donne la convexité. Ne mélangez pas les deux tableaux.
• Conclure trop vite à un point d'inflexion : $f^{\prime \prime }(a)=0$ ne suffit jamais. Vérifiez toujours le changement de signe (cas $f(x)=x^4$).
• Oublier l'ordonnée : un point d'inflexion est un point, on doit donner ses deux coordonnées $(a;f(a))$, pas seulement l'abscisse.
• Inverser convexe et concave : $f^{\prime \prime }\ge 0\Rightarrow$ convexe (sourire), $f^{\prime \prime }\le 0\Rightarrow$ concave (moue).

À retenir

• La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde $f^{\prime \prime }$.
• $f^{\prime \prime }\ge 0\Rightarrow$ $f$ convexe (au-dessus de ses tangentes) ; $f^{\prime \prime }\le 0\Rightarrow$ $f$ concave (en dessous).
• Point d'inflexion $⟺$ $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe.
• Méthode : calculer $f^{\prime }$, puis $f^{\prime \prime }$, étudier son signe, conclure, repérer les changements de signe.
• Un point d'inflexion se donne avec ses deux coordonnées $(a;f(a))$.