Étude de fonction : la méthode systématique en 9 étapes

Pourquoi une méthode systématique ?

L'étude de fonction est l'exercice phare du baccalauréat : elle pèse souvent $6$ à $8$ points. Le correcteur attend un déroulé précis. S'écarter de l'ordre attendu, ou sauter une étape, coûte des points même si le raisonnement est juste. La parade : suivre toujours les mêmes neuf étapes, dans le même ordre.

L'arbre de décision avant de commencer

Avant de dérouler, identifie le type de fonction, car cela oriente le domaine et les limites :

• Quotient $\frac{P}{Q}$ : domaine = exclure les zéros de $Q$ ; chercher des asymptotes verticales.
• Racine $\sqrt{u}$ : domaine = $\{u\ge 0\}$.
• Logarithme $\ln (u)$ : domaine = $\{u>0\}$.
• Produit avec $e^x$ : domaine $\mathbb{R}$, mais limites souvent par croissances comparées.

Les 9 étapes, dans l'ordre

1. Domaine de définition $D_f$.
2. Parité / périodicité éventuelle (permet de réduire l'intervalle d'étude).
3. Limites aux bornes de $D_f$.
4. Dérivée $f^{\prime }(x)$.
5. Signe de $f^{\prime }$ (souvent une étude de signe à part entière).
6. Tableau de variations regroupant signe de $f^{\prime }$ et limites.
7. Asymptotes et branches infinies.
8. Points particuliers : extremums, intersections avec les axes, tangentes remarquables.
9. Courbe représentative tracée avec les éléments précédents.

Exemple résolu complet : $f(x)=x{e}^{-x}$

Étudions intégralement cette fonction sur $\mathbb{R}$.

1. Domaine

$x$ et $e^{-x}$ sont définis partout : $D_f=\mathbb{R}$.

2. Parité

$f(-x)=-x{e}^x$, qui n'est ni $f(x)$ ni $-f(x)$ : pas de parité. On étudie sur $\mathbb{R}$ entier.

3. Limites aux bornes

• En $+\infty$ : par croissances comparées, $\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^{-x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{e^x}=0^{+}$.
• En $-\infty$ : $x\to -\infty$ et $e^{-x}\to +\infty$, donc $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^{-x}=-\infty$.

4. Dérivée

$f$ est un produit $uv$ avec $u=x$ et $v=e^{-x}$. On a $u^{\prime }=1$ et $v^{\prime }=-e^{-x}$. Donc :

$$f^{\prime }(x)=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }=e^{-x}+x(-e^{-x})=e^{-x}(1-x).$$

5. Signe de $f^{\prime }$

Comme $e^{-x}>0$ pour tout $x$, le signe de $f^{\prime }(x)$ est celui de $1-x$ :

• $f^{\prime }(x)>0$ si $x<1$ (fonction croissante) ;
• $f^{\prime }(x)<0$ si $x>1$ (fonction décroissante) ;
• $f^{\prime }(1)=0$ : maximum en $x=1$.

6. Tableau de variations

$f$ croît de $-\infty$ jusqu'à son maximum $f(1)=1\cdot e^{-1}=\frac{1}{e}\approx 0,37$, puis décroît vers $0$.

$x$	$-\infty$	$1$	$+\infty$
$f^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$-\infty \nearrow$	$\frac{1}{e}$	$\searrow 0^{+}$

7. Asymptotes

En $+\infty$, $f(x)\to 0$ : l'axe des abscisses $y=0$ est asymptote horizontale. En $-\infty$, pas d'asymptote (limite infinie).

8. Points particuliers

• Maximum au point $\left(1,\frac{1}{e}\right)$.
• Intersection avec les axes : $f(x)=0⟺x=0$ (car $e^{-x}\ne 0$). La courbe passe par l'origine.
• Tangente à l'origine : $f^{\prime }(0)=e^0(1-0)=1$, donc la tangente en $0$ a pour équation $y=x$.

9. Courbe

On trace : la courbe vient de $-\infty$ en bas à gauche, traverse l'origine avec une pente $1$, monte jusqu'au sommet $\left(1,\frac{1}{e}\right)$, puis redescend en s'aplatissant vers l'axe $y=0$ sans jamais le toucher.

Pièges classiques

• Oublier de préciser le domaine avant de calculer les limites.
• Confondre le signe de $f$ et le signe de $f^{\prime }$. Ce sont deux études distinctes : $f^{\prime }$ donne les variations, $f$ donne la position par rapport à l'axe.
• Sauter les croissances comparées et conclure une forme indéterminée $\frac{\infty }{\infty }$ sans la lever.
• Ne pas calculer la valeur de l'extremum : indiquer « max en $x=1$ » sans donner $f(1)=\frac{1}{e}$ coûte un point.
• Tableau de variations incomplet : les limites doivent y figurer aux extrémités.

Les outils à mobiliser à chaque étape

Pour que la méthode tourne, certains réflexes techniques doivent être automatiques :

• Croissances comparées (étape 3) : $\frac{e^x}{x^n}\to +\infty$ et $\frac{\ln x}{x}\to 0$ en $+\infty$. Ce sont elles qui lèvent la plupart des indéterminations.
• Formules de dérivation (étape 4) : produit $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, quotient ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, et $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$.
• Étude de signe (étape 5) : factoriser $f^{\prime }$ pour lire son signe, souvent en isolant un facteur toujours positif comme $e^{-x}$.
• Équation de tangente (étape 8) : $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$.

Comment le correcteur lit ta copie

Le barème suit l'ordre des étapes. Un domaine oublié pénalise aussi les limites qui en dépendent. Une dérivée fausse contamine tout le tableau de variations. D'où l'intérêt de vérifier chaque étape avant de passer à la suivante : une erreur isolée coûte un point, une erreur propagée peut en coûter quatre.

Pour s'entraîner

Refais cet exemple sans regarder, puis applique les neuf étapes à $g(x)=(x-1)e^x$ ou à $h(x)=\frac{\ln x}{x}$. Voir aussi la fiche méthode et le calcul de limites.