Méthode : étudier les variations d'une fonction

« Étudier les variations de la fonction $f$ » : cette consigne revient sans arrêt en Première et en Terminale. La bonne nouvelle, c'est qu'elle se traite presque toujours selon le même plan. Une fois la méthode en tête, tu peux la dérouler de façon mécanique, sans réfléchir à la marche à suivre. Voici les cinq étapes, puis un exemple complet du début à la fin.

Les cinq étapes de la méthode

1. Déterminer l'ensemble de définition

Avant toute chose, il faut savoir sur quel ensemble on travaille. On note $D_{f}$ l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f (x)$ existe. En pratique, on surveille trois pièges classiques :

un dénominateur ne doit pas s'annuler ;
l'expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle ;
l'argument d'un logarithme doit être strictement positif.

Pour un polynôme ou une exponentielle, aucun souci : l'ensemble de définition est $R$ tout entier.

2. Calculer la dérivée $f^{'}$

Le sens de variation d'une fonction est donné par le signe de sa dérivée. On calcule donc $f^{'} (x)$ à l'aide des formules du cours : dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient, des fonctions usuelles ( $x^{n}$ , $\frac{1}{x}$ , $x$ , $e^{x}$ , $ln x$ ). Rappelle-toi notamment que $(e^{x})^{'} = e^{x}$ et que la dérivée d'un produit $uv$ vaut $u^{'} v + u v^{'}$ .

3. Étudier le signe de $f^{'}$

C'est le cœur de l'étude. On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles $f^{'} (x)$ est positive, négative ou nulle. On résout pour cela l'équation $f^{'} (x) = 0$ , puis on détermine le signe de $f^{'}$ sur chaque intervalle à l'aide d'un tableau de signes. Le lien à retenir est fondamental :

si $f^{'} (x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement croissante sur cet intervalle ;
si $f^{'} (x) < 0$ , alors $f$ est strictement décroissante ;
si $f^{'} (x) = 0$ en changeant de signe, on a un extremum (maximum ou minimum local).

4. Dresser le tableau de variations

On résume tout dans un tableau de variations. Sur la première ligne, on place $x$ et les valeurs remarquables (bornes de $D_{f}$ et solutions de $f^{'} (x) = 0$ ). Sur la deuxième, le signe de $f^{'} (x)$ . Sur la troisième, les flèches de variation de $f$ : une flèche montante quand $f$ croît, descendante quand elle décroît. On reporte enfin les valeurs de $f$ aux points clés.

5. Préciser limites et extremums

Aux bornes du domaine, on indique les limites (notamment en $+ \infty$ et $- \infty$ ). Aux points où la dérivée s'annule en changeant de signe, on calcule la valeur de $f$ : c'est l'extremum. Un changement « $+$ puis $-$ » donne un maximum ; un changement « $-$ puis $+$ » donne un minimum.

Exemple entièrement corrigé

Étudions les variations de la fonction $f$ définie par :

$f (x) = x^{3} - 3 x$

Étape 1 — Ensemble de définition. $f$ est une fonction polynôme, donc elle est définie et dérivable sur $D_{f} = R$ .

Étape 2 — Dérivée. En dérivant terme à terme :

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$

Étape 3 — Signe de $f^{'}$ . On résout $f^{'} (x) = 0$ :

$3 x^{2} - 3 = 0 ⟺ x^{2} = 1 ⟺ x = - 1 ou x = 1$

Le coefficient de $x^{2}$ est positif ( $3 > 0$ ), donc le trinôme $3 x^{2} - 3$ est positif à l'extérieur des racines et négatif à l'intérieur. On en déduit :

$f^{'} (x) > 0$ sur $] - \infty; - 1 [$ et sur $] 1; + \infty [$ : $f$ y est croissante ;
$f^{'} (x) < 0$ sur $] - 1; 1 [$ : $f$ y est décroissante.

Étape 4 — Tableau de variations. On calcule d'abord les valeurs aux points où $f^{'}$ s'annule :

$f (- 1) = (- 1)^{3} - 3 \times (- 1) = - 1 + 3 = 2$

$f (1) = 1^{3} - 3 \times 1 = 1 - 3 = - 2$

Le tableau de variations se lit alors ainsi : sur $] - \infty; - 1]$ , $f$ croît jusqu'à $f (- 1) = 2$ ; sur $[- 1; 1]$ , $f$ décroît jusqu'à $f (1) = - 2$ ; sur $[1; + \infty [$ , $f$ croît à nouveau.

$x f^{'} (x) f - \infty + ↗ - 1 02 - ↘ 10 - 2 + ↗ + \infty$

Étape 5 — Limites et extremums. Comme le terme de plus haut degré est $x^{3}$ :

$x \to + \infty lim f (x) = + \infty et x \to - \infty lim f (x) = - \infty$

La dérivée change de signe de $+$ à $-$ en $x = - 1$ : la fonction admet un maximum local égal à $2$ , atteint en $x = - 1$ . Elle change de signe de $-$ à $+$ en $x = 1$ : elle admet un minimum local égal à $- 2$ , atteint en $x = 1$ . Attention : ces extremums sont locaux et non globaux, puisque la fonction tend vers $\pm \infty$ aux bornes.

Et avec une exponentielle ?

La démarche ne change pas d'un iota. Pour $g (x) = x e^{x}$ , par exemple, on dérive avec la formule du produit : $g^{'} (x) = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} = (1 + x) e^{x}$ . Comme $e^{x} > 0$ pour tout réel $x$ , le signe de $g^{'} (x)$ est celui de $(1 + x)$ . Ainsi $g^{'} (x) < 0$ sur $] - \infty; - 1 [$ et $g^{'} (x) > 0$ sur $] - 1; + \infty [$ : la fonction décroît puis croît, avec un minimum en $x = - 1$ . Le réflexe clé avec l'exponentielle : elle est toujours strictement positive, donc on l'« oublie » dans l'étude du signe.

À retenir

Étudier les variations d'une fonction, c'est suivre un fil conducteur immuable : définition, dérivée, signe de la dérivée, tableau de variations, limites et extremums. Tout repose sur une idée centrale : le signe de $f^{'}$ commande le sens de variation de $f$ . Entraîne-toi à dérouler ces cinq étapes dans l'ordre, sans en sauter aucune, et n'oublie pas de conclure proprement en nommant les extremums. Ce réflexe te servira dans presque tous les exercices d'analyse du lycée.