Le lemme du milieu d'arc (Fact 5)

Soit $ABC$ un triangle inscrit dans un cercle $\Gamma$, et soit $I$ le centre de son cercle inscrit (intersection des bissectrices intérieures). On note $M$ le milieu de l'arc $BC$ de $\Gamma$ ne contenant pas $A$.

Démontrer que :

$$MB=MC=MI.$$

Autrement dit, $M$ est le centre du cercle passant par $B$, $I$ et $C$.

[Figure : triangle $ABC$ et son cercle circonscrit $\Gamma$ ; la bissectrice issue de $A$ recoupe $\Gamma$ au milieu $M$ de l'arc $BC$ ; le centre du cercle inscrit $I$ est sur $[AM]$, et $M$ est à égale distance de $B$, $I$ et $C$.]