Formule d'Euler et inégalité $R \ge 2r$

Dans un triangle $ABC$, les cercles inscrit et circonscrit ont pour rayons respectifs $r$ et $R$. Soit $d=OI$ la distance entre le centre du cercle inscrit $I$ et celui du cercle circonscrit $O$.

1. Montrer que $A,B,C,I$ sont concycliques si et seulement si $AB=AC$.
2. Démontrer la formule d'Euler : $d^2=R(R-2r)$.
3. En déduire l'inégalité d'Euler : $R\ge 2r$, avec égalité ssi triangle équilatéral.