Construction de nombres par moyennes répétées

Les entiers 1, 2, 3, $\dots$, 2022 sont écrits sur un tableau. On peut choisir n'importe quelle paire de nombres sur le tableau et les remplacer par leur moyenne. Par exemple, on peut remplacer 1 et 2 par 1,5, ou on peut remplacer 1 et 3 par une deuxième copie du nombre 2. Après avoir effectué 2021 remplacements de la sorte, il ne restera qu'un seul nombre sur le tableau.

1. Montrer qu'il existe une suite de remplacements pour laquelle le nombre final est 2.
2. Montrer qu'il existe une suite de remplacements pour laquelle le nombre final est 1000.