Tortue sur grille $(4n+2) \times (4n+2)$

Sur une grille carrée $(4n+2)\times (4n+2)$, une tortue se déplace entre les cases qui partagent un côté. La tortue débute dans un coin de la grille et visite chaque case exactement une fois avant de revenir à son point de départ. Quel est, en fonction de $n$, le plus grand entier $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel qu'il doit y avoir une rangée ou une colonne dans laquelle la tortue est entrée à $k$ reprises au moins ?