Paires de zéros consécutifs dans suites binaires récursives

Une suite à $n$ termes et dont chacun est égal à $0$ ou $1$ est dite suite binaire de longueur $n$. Soient $A$ une suite binaire de longueur finie, et $f(A)$ l'application qui associe à $1\in A$ le terme $0,1$, et associe à $0\in A$ le terme $1,0$. Par exemple :

$$f((1,0,0,1))=(0,1,1,0,1,0,0,1).$$

Déterminer le nombre de paires contenant deux $0$ consécutifs dans $f^{(n)}((1))$ où $f^{(1)}(A)=f(A)$ et $f^{(k+1)}(A)=f\left(f^{(k)}(A)\right)$, $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.