Séquences d'opérations sur des lampes

Soient $n$ et $k$ des entiers strictement positifs tels que $k\ge n$ et $k-n$ est pair. On suppose données $2n$ lampes numérotées de 1 à $2n$ ; chacune peut être allumée ou éteinte. Au début, toutes les lampes sont éteintes. Une opération consiste à allumer une lampe éteinte ou bien à éteindre une lampe allumée. On considère des séquences constituées d'opérations successives.

Soit $N$ le nombre de séquences constituées de $k$ opérations et aboutissant à l'état où les lampes de 1 à $n$ sont allumées et les lampes de $n+1$ à $2n$ sont éteintes. Soit $M$ le nombre de séquences constituées de $k$ opérations et aboutissant à l'état où les lampes de 1 à $n$ sont allumées et les lampes de $n+1$ à $2n$ sont éteintes, mais où les lampes de $n+1$ à $2n$ n'ont jamais été allumées. Déterminer le rapport $\frac{N}{M}$.