Modèles de réponses avec contrainte de consécutivité

Quinze problèmes, numérotés de 1 à 15, sont posés dans un certain concours. Aucun élève ne répond correctement à deux problèmes consécutifs. Si 1600 candidats passent le concours, au moins deux d'entre eux doivent-ils avoir les mêmes modèles de réponse ?

(On suppose que chaque question n'ait que 2 réponses possibles, bonne ou mauvaise, et on suppose qu'aucun élève ne laisse aucune question sans réponse.)