Coloration des côtés d'un polygone convexe

On considère un polygone convexe à $n$ côtés. On dispose de $c\ge 2$ couleurs différentes et on désire colorier les côtés de ce polygone de sorte que deux côtés contigus ne soient jamais de la même couleur. Soit $N_c(n)$ le nombre de façons de procéder. Montrer que pour tout $n\ge 2$ on a :

$$N_c(n)=(c-1{)}^n+(-1{)}^n(c-1).$$