Permutations vérifiant la propriété P(r)

Soient $r,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ avec $r\le n$. On dit qu'une permutation $(x_1,x_2,\dots ,x_{2n})$ de $\{1,2,\dots ,2n\}$ vérifie la propriété $P(r)$ si $|x_i-x_{i+1}|=r$ pour au moins un $i\in \{1,2,\dots ,2n-1\}$. Montrer que, pour tout $n$ et $r$, il y a plus de permutations qui vérifient $P(r)$ que celles qui ne la vérifient pas.