Solutions entières de l'équation x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 51

Déterminer le nombre de solutions entières de l'équation $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=51$ dans les cas suivantes :

1. $x_i\ge 0$ pour $i\in [1,5]$ ;
2. $x_1\ge 3,x_2\ge 5$ et $x_i\ge 0$ pour $i\in \{3,4,5\}$;
3. $0\le x_1\le 8$ et $x_i\ge 0$ pour $i\in \{2,3,4,5\}$;
4. $x_1+x_2=10$ et $x_i\ge 0$ pour $i\in [1,5]$ ;
5. $x_i\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et est impair (respectivement pair) pour $i\in [1,5]$.