Approximation linéaire de nombres réels de norme euclidienne 1

On considère $n$ nombres réels $x_1,x_2,\dots ,x_n$ vérifiant $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2=1$. Soit $k$ un entier supérieur à 2, montrer qu'il existe $n$ entiers non tous nuls $a_1,a_2,\dots ,a_n$ vérifiant :

• pour tout $i\in \{1,n\}$, $|a_i|\le k-1$ ;
• $$|a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n|\le \frac{(k-1)\sqrt{n}}{k^{n-1}}.$$

(OIM, 1987)