Permutations avec contraintes sur les points fixes

Énoncé du problème

Combien y a-t-il de permutations $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ de $[[1, n]]$ telles que $a_{j} \neq = j$ pour tout $j \in [[1, n]]$ ?
Soit $1 \leq k \leq n$ . Combien y a-t-il de permutations $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ de $[[1, n]]$ telles que $a_{j} = j$ pour exactement $k$ éléments $j \in [[1, n]]$ ?
Soit $1 \leq m < n$ . Combien y a-t-il de permutations $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ de $[[1, n]]$ telles que $a_{j} \neq = j$ pour tout $j \in [[1, m]]$ ?
Soit $1 \leq k \leq m < n$ . Combien y a-t-il de permutations $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ de $[[1, n]]$ telles que $a_{j} = j$ pour exactement $k$ éléments $j \in [[1, m]]$ ?
Combien y a-t-il de permutations $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ de $[[1, n]]$ telles que $(a_{k}, a_{k + 1}) \neq = (j, j + 1)$ pour tout $k \in [[1, n - 1]]$ et tout $j \in [[1, n - 1]]$ ?

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