Partition en 3 sans solutions à x+y=z implique tailles inégales

Les ensembles non vides $A_1,A_2$ et $A_3$ forment une partition de l'ensemble $\{1,2,\cdots ,n\}$. Si l'équation $x+y=z$ n'a pas de solutions avec $x\in A_i,y\in A_j,z\in A_k$ et $\{i,j,k\}=\{1,2,3\}$, montrer alors que $A_1,A_2$ et $A_3$ ne peuvent pas avoir le même nombre d'éléments.