Déplacement circulaire et appariement sur chaises numérotées

Il y a $n$ chaises placées autour d'une table ronde et numérotées $1,2,\cdots ,n$. Il y a $n$ personnes assises sur ces chaises, chacune portant un numéro distinct de l'ensemble $\{1,2,\cdots ,n\}$.

1. Montrer que si $n$ est pair, il existe un entier $k\in \mathbb{N}$ tel que si chaque personne se déplace à sa droite de $k$ chaises, aucun numéro des personnes ne correspond au numéro de la chaise sur laquelle elle est assise.
2. Si $n$ est impair, trouver un arrangement initial pour lequel la conclusion de la question précédente est fausse pour tout entier $k$.