Permutations avec première position fixée et contrainte d'adjacence

Soit $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ une permutation quelconque de $1,2,\cdots ,n$, et soit $f(n)$ le nombre de permutations telles que :

1. $a_1=1$;
2. $|a_i-a_{i+1}|\le 2$ pour tout $i\in [[1,n-1]]$.

Le nombre $f(2022)$ est-il divisible par $3$ ?