Somme télescopique des inverses

Soit $n$ un entier naturel non nul. Calculer la somme

$$S_n=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}.$$

En déduire la limite de $S_n$ lorsque $n$ devient très grand.