Suite avec relation de quotients et encadrement

Soit $(a_n{)}_{n\ge 1}$ la suite définie par $a_1=1$, $a_2=2$, et vérifiant pour tout $n\ge 1$ :

$$\frac{a_{n+2}}{a_n}=\frac{a_{n+1}^2+1}{a_n^2+1}.$$

1. Déterminer une relation de récurrence du type $a_{n+1}=f(a_n)$.
2. Montrer que : $63<a_{2021}<78$.