Encadrement d'une suite définie implicitement

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $n \geq 1$ un entier fixé. On suppose que la suite $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ vérifie :

$a_{0} = \frac{1}{2} et a_{k} = a_{k - 1} + \frac{a _{k - 1}^{2}}{n}, k \in [[1, n]]$

Montrer que : $1 - \frac{1}{n} < a_{n} < 1$ .