Inégalité avec somme harmonique impaire

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Pour $n \in N^{*}$ on pose :

$A_{n} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{2 n - 1}$

Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ on a :

$\frac{1}{A _{1}^{2}} + \frac{1}{3 A _{2}^{2}} + \dots + \frac{1}{( 2 n - 1 ) A _{n}^{2}} < 2$