Formule explicite pour suite avec alternance impar-pair

Soit $(a_n{)}_{n\ge 1}$ une suite strictement croissante d'entiers strictement positifs et dont les premiers termes sont donnés par :

$$1;2,4;5,7,9;10,12,14,16;\cdots$$

(il y a un nombre impair, deux nombres pairs, trois nombres impairs, quatre nombres pairs, etc). Montrer que :

$$a_n=2n-\lfloor \frac{1+\sqrt{8n-7}}{2}\rfloor$$

pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.