Polynôme avec propriété de croissance

Soit $P\in \mathbb{Z}[X]$ un polynôme tel que $P(n)>n$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, et il existe au moins un terme de la suite :

$$P(1),P(P(1)),P(P(P(1))),\dots$$

qui est un multiple de $m$ pour tout $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Montrer que $P(x)=x+1$.