Inégalité pour une suite convexe

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $(a_{n})_{n \geq 0}$ la suite vérifiant $a_{0} = 0$ , et pour $n \geq 2$ :

$a_{n} + a_{n - 2} \geq 2 a_{n - 1}$

Soient $n \in N^{*}$ et $k \in N$ . Montrer que si $0 \leq k \leq n$ alors $n a_{k} \leq k a_{n}$ .