Suite avec valeurs évitées et carrés parfaits

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $(a_{n})_{n \geq 1}$ la suite réelle définie par $a_{1} = 1$ et pour tout $n \geq 1$ :

$a_{n + 1} = {a_{n} - 2 a_{n} + 3 si a_{n} - 2 > 0 et a_{n} - 2 \in / {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}, sinon.$

Montrer que pour tout entier $k > 1$ , il existe un indice $n \in N^{*}$ tel que : $a_{n + 1} = a_{n} + 3 = k^{2}$ .