Suite rationnelle avec divisibilité par puissance de 2

Soit $(a_n{)}_{n\ge 1}$ la suite réelle définie par $a_1=2$, $a_2=500$, $a_3=2000$, et pour tout $n\ge 2$ :

$$\frac{a_{n+2}+a_{n+1}}{a_{n+1}+a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_{n-1}}.$$

Montrer que tous les $a_n$ sont des entiers, et que $2^n$ divise $a_n$ pour tout $n\ge 1$.