Suite avec condition de somme

Une suite réelle $x_1,x_2,\dots ,x_{100}$ est telle que pour tous $k\in \{1,\dots ,100\}$ :

$$x_k+k=x_1+x_2+\cdots +x_{k-1}+x_{k+1}+\cdots +x_{100}.$$

On suppose que $x_{50}=\frac{m}{n}$, où $(m,n)\in {\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }$ vérifient $\gcd (m,n)=1$, déterminer la valeur de la somme $m+n$.