Rationalité de sommes de carrés et de cubes

Soient $x$, $y$ et $z$ des nombres réels non nuls tels que $xy$, $yz$ et $zx$ sont des nombres rationnels.

1. Montrer que $x^2+y^2+z^2$ est un nombre rationnel.

2. Montrer que si $x^3+y^3+z^3$ est un nombre rationnel non nul, alors $x$, $y$ et $z$ sont des nombres rationnels. (Roumanie)