Formule des nombres de Bernoulli

Les nombres de Bernoulli $(B_n{)}_{n\ge 0}$ sont définis par la relation de récurrence :

$$B_0=1\text{et}\sum _{i=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{i}\right)B_i=0\text{ pour }m>0.$$

Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $k\in \mathbb{N}$, on a :

$$1^k+2^k+\cdots +(n-1{)}^k=\frac{1}{k+1}\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{i})B_i\cdot n^{k+1-i}.$$