Suite positive avec relation pondérée et carré de somme

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Déterminer la suite $(a_{n})_{n \geq 1}$ de nombres réels strictement positifs telle que pour tout entier $k \geq 1$ on a :

$a_{1} + 2^{2} \cdot a_{2} + 3^{2} \cdot a_{3} + \dots + k^{2} \cdot a_{k} = \frac{k ( k + 1 )}{2} \cdot (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}) .$