Inégalité avec moyenne géométrique

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ des nombres réels qui sont $\geq 1$ . Montrer que :

$\frac{1}{1 + a _{1}} + \frac{1}{1 + a _{2}} + \dots + \frac{1}{1 + a _{n}} \geq \frac{n}{1 + n a _{1} a _{2} \dots a _{n}} .$