Fonction sur [0,1] avec condition de Lipschitz

Soit $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ une fonction telle que :

1. $f(0)=f(1)=0$,
2. $|f(x)-f(y)|<|x-y|$ pour $x,y\in [0,1]$ avec $x\ne y$.

Montrer que $|f(x)-f(y)|<\frac{1}{2}$ pour tout $x,y\in [0,1]$.

(Thaïlande)