Divisibilité impliquant nombre premier et somme

Soit $p$ un nombre premier impair et posons

$$S_q=\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot 7}+\cdots +\frac{1}{q(q+1)(q+2)}$$

où $q=\frac{3p-5}{2}$. On suppose que $\frac{1}{p}-2S_q=\frac{m}{n}$, pour des entiers strictement positifs $m$ et $n$.

Montrer que $p$ divise $m-n$.