Existence d'une suite avec contraintes sur sommes

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Existe-t-il une suite réelle $(a_{n})_{n \geq 1}$ , de termes strictement positifs, vérifiant pour tout $n \geq 1$ :

$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} \leq n^{2} et \frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + \dots + \frac{1}{a _{n}} \leq 2008$

(Olympiade Balkanique)