Polynôme quadratique et somme harmonique

Soient $a$ un nombre réel, et $b,c$ des entiers. Déterminer tous les polynômes $P(x)=a{x}^2+bx+c$ vérifiant pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ :

$$n-2\sqrt{n}<P\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n}}\right)<n-\sqrt{n}.$$