Suites k-équilibrées et annulation

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Une suite finie $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ est dite $k$ -équilibrée si :

$a_{0} + a_{k} + a_{2 k} + \dots = a_{1} + a_{k + 1} + a_{2 k + 1} + \dots = \dots = a_{k - 1} + a_{2 k - 1} + a_{3 k - 1} + \dots$

Montrer que si la suite finie $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{49}$ est $k$ -équilibrée pour $k \in {3, 5, 7, 11, 13, 17}$ , alors :

$a_{0} = a_{1} = \dots = a_{49} = 0$