Somme de fractions cubiques complexes

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a$ , $b$ , $c$ des réels vérifiant les deux conditions :

$\frac{a ^{3}}{4 a ^{2} + 2 ab + b ^{2}} + \frac{b ^{3}}{4 b ^{2} + 2 b c + c ^{2}} + \frac{c ^{3}}{4 c ^{2} + 2 c a + a ^{2}} = 10$

$\frac{b ^{3}}{4 a ^{2} + 2 ab + b ^{2}} + \frac{c ^{3}}{4 b ^{2} + 2 b c + c ^{2}} + \frac{a ^{3}}{4 c ^{2} + 2 c a + a ^{2}} = 12$

Déterminer la valeur de l'expression : $a + b + c$