Suite avec condition de somme de cubes

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

La suite $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2021}$ de nombres réels vérifie la condition :

$a_{1}^{3} + a_{2}^{3} + \dots + a_{n}^{3} = (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})^{2} pour tout n \in [[1, 2021]] .$

Montrer que tous les éléments de la suite sont des entiers.