Condition sur somme de racines cubiques

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a, b$ et $c$ des nombres réels. Montrer que :

$3 a + 3 b + 3 c = 3 a + b + c$

si et seulement si $a^{3} + b^{3} + c^{3} = (a + b + c)^{3}$ .